Trong tài liệu [1], tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đưa ra phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới.
Khoảng cách hạng được giới thiệu bởi E. Gabidulin vào năm 1985, chi tiết về độ đo này được trình bày trong [2].
Cho K = GF(qm) là một mở rộng bậc m của trường hữu hạn GF (q), q = pr không cần là nguyên tố, trường GF(q) được xét như “trường cơ sở” trong phương pháp này. Cho E = Kn là không gian vectơ n chiều trên K.
Tương đương, trọng số hạng của a là hạng của ma trận m x n trên GF(q) được tạo bằng cách mở rộng mọi tọa độ ai trên cơ sở của K/ GF (q). Giá trị của trọng số hạng là độc lập với cơ sở được chọn.
nó cũng có hạng là 2.
Tồn tại một giới hạn đối với khoảng cách hạng tối thiểu của một mã, tương tự như giới hạn Singleton đối với khoảng cách Hamming:
Mệnh đề 1 ([2]): Nếu C là một mã tuyến tính độ dài n, số chiều k và khoảng cách hạng dr, thì:
Tập các đa thức được tuyến tính hóa là đẳng cấu với tập các ứng dụng tuyến tính - GF(q) của K vào chính nó [3].
Các tác giả đưa ra chứng minh ngắn gọn của định lý sau ([84]):
Chứng minh:
Độ dài của các mã Gabidulin tương đối ngắn (độ dài của mã nhiều nhất bằng m) so với qm Mục tiêu của các tác giả trong [1] là mở rộng các mã Gabidulin bằng cách thêm vào điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa.
Chứng minh:
Khoảng cách hạng là cực đại nếu a là một hệ sinh của K, nghĩa là rk(a) = m. Tuy nhiên khoảng cách hạng của các mã như vậy bị chặn trên bởi m - k + 1.
Hệ quả 1 ([1]). Khoảng cách Hamming dh của mã Cak lớn hơn hoặc bằng rk(a) - k +1.
Tuy nhiên, có thể xây dựng một mã Cak với khoảng cách Hamming tốt.
Các tác giả tiếp tục đưa ra mệnh đề sau:
Mệnh đề 3 ([1]). Khoảng cách Hamming tối thiểu của mã Ca,k là dh = n - s, trong đó s là số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong cùng không gian vectơ V với số chiều k-1.
Chứng minh:
Định lý sau đây khẳng định đặc trưng của các mã Cak để là MDS.
Định lý 2 ([1]). Một mã Cak là MDS nếu và chỉ nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
Nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính thì số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong một không gian vectơ k-1 chiều bằng s=k-1. Khi đó, khoảng cách tối thiểu của một mã như thế sẽ bằng dh=n-(k-1) = n-k+1. Do vậy, đây là một mã MDS.
Ngược lại, nếu Cak là mã MDS thì dh =n-(k-1). Có nghĩa là s=k-1 , hay không gian vectơ k-1 chiều bất kỳ V chứa nhiều nhất k-1 phần tử của a. Điều này tương đương với khẳng định “tập bất kỳ k phần tử của a là độc lập tuyến tính”.
Cố định q=2 và m=2r. Chọn cơ sở B={b1,b2,...bm} của K trên F=GF(2) và n=m. Khi đó mã Gabidulin GB,r là mã MRD và có các tham số [m=2r,r,r+1] (GB,r cũng là mã MDS) trên K (r là độ dài tin k).
Nếu A là ma trận vuông cỡ r trên K sao cho [Ir,A] là ma trận sinh chuẩn của GB,r thì A là ma trận MDS trên K. Ma trận này cho độ khuếch tán cực đại trên r khối có cỡ m=2r nhưng lại có thêm tính chất MRD.
Ví dụ 2. Chọn m=8, r=4. Giả sử
là nghiệm của đa thức nguyên thủy x8+x4+x3+x2+1. Đặt B={1,a, a2,…, a7} là cơ sở của K trên F. Ma trận MDS A được xác định từ mã Gabidulin GB,4 là:Ma trận A này có cùng các tham số như MixColumns, r=4 là cỡ cực đại của ma trận MDS có tính chất MRD trên GF(28).
Giả sử n>m và n=2k, khi đó mã MRD không nhất thiết là MDS (nói chung không là MDS). Trước đây, người ta đã thiết lập mã MDS có độ dài n>m bằng cách mở rộng các điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa. Tuy nhiên, các mã này không còn là MRD nữa, các tham số của chúng bị hạn chế nên không thể vượt qua tỷ lệ ½ (tức là mã tuyến tính có n=2k). Những mã Gabidulin mở rộng này dường như không thích hợp để xây dựng các tầng khuếch tán MDS và không có tính chất bổ sung so với mã Reed-Solomon.
Sau đây, tác giả bài báo đưa ra bảng so sánh hai phương pháp xây dựng các ma trận MDS từ các mã MDS, bao gồm mã RS và mã Gabidulin.
Bảng 1. So sánh phương pháp từ mã RS và mã Gabidulin
Bài báo này giới thiệu một phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin để từ đó có thể trích rút ra được các ma trận MDS từ các mã MDS này. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới do tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đã đưa ra trong tài liệu [1]. Bài báo cũng đưa ra so sánh các phương pháp xây dựng ma trận MDS từ các mã MDS như mã RS và mã Gabidulin. Việc nghiên cứu các phương pháp khác nhau trong việc xây dựng các ma trận MDS sẽ hữu ích cho các nhà nghiên cứu để tìm ra những ma trận MDS tốt nhất theo nhiều tiêu chí khác nhau nhằm xây dựng các mã khối an toàn, hiệu quả trong thực thi.
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thierry P. Berger, Alexei V. Ourivski, Construction of new MDS codes from Gabidulin codes, LACO, University of Limoges, France, 2013. [2] E. M. Gabidulin. Theory of codes with maximal rank distance. Problems of Information Transmission, 21:1-12, July 1985. [3] R. Lidl, H. Niederreiter. Finite fields and their applications. Cambridge University Press. [4] R. F. Babindamana and C. T. Gueye, Gabidulin Codes that are Generalized Reed Solomon Codes, International Journal of Algebra, Vol. 4, 2010, no. 3, Insert Cell After119 – 142. |
TS. Trần Thị Lượng (Học viện Kỹ thuật mật mã)
17:00 | 19/11/2020
15:00 | 24/09/2021
22:58 | 19/05/2015
10:00 | 02/01/2024
Trong hệ mật RSA, mô hình hệ mật, cấu trúc thuật toán của các nguyên thủy mật mã là công khai. Tuy nhiên, việc lựa chọn và sử dụng các tham số cho hệ mật này sao cho an toàn và hiệu quả là một vấn đề đã và đang được nhiều tổ chức quan tâm nghiên cứu. Trong bài viết này, nhóm tác giả đã tổng hợp một số khuyến nghị cho mức an toàn đối với độ dài khóa RSA được Lenstra, Verheul và ECRYPT đề xuất.
10:00 | 26/10/2023
Trong thời gian gần đây, các trường hợp lừa đảo qua mã QR ngày càng nở rộ với các hình thức tinh vi. Bên cạnh hình thức lừa đảo cũ là dán đè mã QR thanh toán tại các cửa hàng khiến tiền chuyển về tài khoản kẻ gian, vừa qua còn xuất hiện các hình thức lừa đảo mới.
10:00 | 20/09/2023
ChatGPT và các mô hình ngôn ngữ lớn (LLM) tương tự đã làm tăng thêm độ phức tạp trong bối cảnh mối đe dọa trực tuyến ngày càng gia tăng. Tội phạm mạng không còn cần các kỹ năng mã hóa nâng cao để thực hiện gian lận và các cuộc tấn công gây thiệt hại khác chống lại các doanh nghiệp và khách hàng trực tuyến nhờ vào bot dưới dạng dịch vụ, residential proxy, CAPTCHA và các công cụ dễ tiếp cận khác. Giờ đây, ChatGPT, OpenAI và các LLM khác không chỉ đặt ra các vấn đề đạo đức bằng cách đào tạo các mô hình của họ về dữ liệu thu thập trên Internet mà LLM còn đang tác động tiêu cực đến lưu lượng truy cập web của doanh nghiệp, điều này có thể gây tổn hại lớn đến doanh nghiệp đó.
10:00 | 25/04/2023
HTTP và HTTPS là những giao thức ứng dụng có lịch sử lâu đời của bộ giao thức TCP/IP, thực hiện truyền tải siêu văn bản, được sử dụng chính trên nền tảng mạng lưới toàn cầu (World Wide Web) của Internet. Những năm gần đây, Google đã nghiên cứu thử nghiệm một giao thức mạng mới trong giao thức HTTP phiên bản 3 đặt tên là QUIC, với mục tiêu sẽ dần thay thế TCP và TLS trên web. Bài báo này giới thiệu về giao thức QUIC với các cải tiến trong thiết kế để tăng tốc lưu lượng cũng như làm cho giao thức HTTP có độ bảo mật tốt hơn.
Những ngày gần đây, liên tục các kênh YouTube với lượng người theo dõi lớn như Mixigaming với 7,32 triệu người theo dõi của streamer nổi tiếng Phùng Thanh Độ (Độ Mixi) hay Quang Linh Vlogs - Cuộc sống ở Châu Phi với 3,83 triệu người theo dõi của YouTuber Quang Linh đã bị tin tặc tấn công và chiếm quyền kiểm soát.
10:00 | 22/04/2024
Mới đây, Cơ quan An ninh mạng và Cơ sở hạ tầng Hoa Kỳ (CISA) đã phát hành phiên bản mới của hệ thống Malware Next-Gen có khả năng tự động phân tích các tệp độc hại tiềm ẩn, địa chỉ URL đáng ngờ và truy tìm mối đe dọa an ninh mạng. Phiên bản mới này cho phép người dùng gửi các mẫu phần mềm độc hại để CISA phân tích.
13:00 | 17/04/2024