Trong tài liệu [1], tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đưa ra phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới.
Khoảng cách hạng được giới thiệu bởi E. Gabidulin vào năm 1985, chi tiết về độ đo này được trình bày trong [2].
Cho K = GF(qm) là một mở rộng bậc m của trường hữu hạn GF (q), q = pr không cần là nguyên tố, trường GF(q) được xét như “trường cơ sở” trong phương pháp này. Cho E = Kn là không gian vectơ n chiều trên K.
Tương đương, trọng số hạng của a là hạng của ma trận m x n trên GF(q) được tạo bằng cách mở rộng mọi tọa độ ai trên cơ sở của K/ GF (q). Giá trị của trọng số hạng là độc lập với cơ sở được chọn.
nó cũng có hạng là 2.
Tồn tại một giới hạn đối với khoảng cách hạng tối thiểu của một mã, tương tự như giới hạn Singleton đối với khoảng cách Hamming:
Mệnh đề 1 ([2]): Nếu C là một mã tuyến tính độ dài n, số chiều k và khoảng cách hạng dr, thì:
Tập các đa thức được tuyến tính hóa là đẳng cấu với tập các ứng dụng tuyến tính - GF(q) của K vào chính nó [3].
Các tác giả đưa ra chứng minh ngắn gọn của định lý sau ([84]):
Chứng minh:
Độ dài của các mã Gabidulin tương đối ngắn (độ dài của mã nhiều nhất bằng m) so với qm Mục tiêu của các tác giả trong [1] là mở rộng các mã Gabidulin bằng cách thêm vào điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa.
Chứng minh:
Khoảng cách hạng là cực đại nếu a là một hệ sinh của K, nghĩa là rk(a) = m. Tuy nhiên khoảng cách hạng của các mã như vậy bị chặn trên bởi m - k + 1.
Hệ quả 1 ([1]). Khoảng cách Hamming dh của mã Cak lớn hơn hoặc bằng rk(a) - k +1.
Tuy nhiên, có thể xây dựng một mã Cak với khoảng cách Hamming tốt.
Các tác giả tiếp tục đưa ra mệnh đề sau:
Mệnh đề 3 ([1]). Khoảng cách Hamming tối thiểu của mã Ca,k là dh = n - s, trong đó s là số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong cùng không gian vectơ V với số chiều k-1.
Chứng minh:
Định lý sau đây khẳng định đặc trưng của các mã Cak để là MDS.
Định lý 2 ([1]). Một mã Cak là MDS nếu và chỉ nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
Nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính thì số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong một không gian vectơ k-1 chiều bằng s=k-1. Khi đó, khoảng cách tối thiểu của một mã như thế sẽ bằng dh=n-(k-1) = n-k+1. Do vậy, đây là một mã MDS.
Ngược lại, nếu Cak là mã MDS thì dh =n-(k-1). Có nghĩa là s=k-1 , hay không gian vectơ k-1 chiều bất kỳ V chứa nhiều nhất k-1 phần tử của a. Điều này tương đương với khẳng định “tập bất kỳ k phần tử của a là độc lập tuyến tính”.
Cố định q=2 và m=2r. Chọn cơ sở B={b1,b2,...bm} của K trên F=GF(2) và n=m. Khi đó mã Gabidulin GB,r là mã MRD và có các tham số [m=2r,r,r+1] (GB,r cũng là mã MDS) trên K (r là độ dài tin k).
Nếu A là ma trận vuông cỡ r trên K sao cho [Ir,A] là ma trận sinh chuẩn của GB,r thì A là ma trận MDS trên K. Ma trận này cho độ khuếch tán cực đại trên r khối có cỡ m=2r nhưng lại có thêm tính chất MRD.
Ví dụ 2. Chọn m=8, r=4. Giả sử
là nghiệm của đa thức nguyên thủy x8+x4+x3+x2+1. Đặt B={1,a, a2,…, a7} là cơ sở của K trên F. Ma trận MDS A được xác định từ mã Gabidulin GB,4 là:Ma trận A này có cùng các tham số như MixColumns, r=4 là cỡ cực đại của ma trận MDS có tính chất MRD trên GF(28).
Giả sử n>m và n=2k, khi đó mã MRD không nhất thiết là MDS (nói chung không là MDS). Trước đây, người ta đã thiết lập mã MDS có độ dài n>m bằng cách mở rộng các điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa. Tuy nhiên, các mã này không còn là MRD nữa, các tham số của chúng bị hạn chế nên không thể vượt qua tỷ lệ ½ (tức là mã tuyến tính có n=2k). Những mã Gabidulin mở rộng này dường như không thích hợp để xây dựng các tầng khuếch tán MDS và không có tính chất bổ sung so với mã Reed-Solomon.
Sau đây, tác giả bài báo đưa ra bảng so sánh hai phương pháp xây dựng các ma trận MDS từ các mã MDS, bao gồm mã RS và mã Gabidulin.
Bảng 1. So sánh phương pháp từ mã RS và mã Gabidulin
Bài báo này giới thiệu một phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin để từ đó có thể trích rút ra được các ma trận MDS từ các mã MDS này. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới do tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đã đưa ra trong tài liệu [1]. Bài báo cũng đưa ra so sánh các phương pháp xây dựng ma trận MDS từ các mã MDS như mã RS và mã Gabidulin. Việc nghiên cứu các phương pháp khác nhau trong việc xây dựng các ma trận MDS sẽ hữu ích cho các nhà nghiên cứu để tìm ra những ma trận MDS tốt nhất theo nhiều tiêu chí khác nhau nhằm xây dựng các mã khối an toàn, hiệu quả trong thực thi.
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thierry P. Berger, Alexei V. Ourivski, Construction of new MDS codes from Gabidulin codes, LACO, University of Limoges, France, 2013. [2] E. M. Gabidulin. Theory of codes with maximal rank distance. Problems of Information Transmission, 21:1-12, July 1985. [3] R. Lidl, H. Niederreiter. Finite fields and their applications. Cambridge University Press. [4] R. F. Babindamana and C. T. Gueye, Gabidulin Codes that are Generalized Reed Solomon Codes, International Journal of Algebra, Vol. 4, 2010, no. 3, Insert Cell After119 – 142. |
TS. Trần Thị Lượng (Học viện Kỹ thuật mật mã)
17:00 | 19/11/2020
22:58 | 19/05/2015
08:00 | 20/10/2020
Ngày nay, khi chính phủ các nước cam kết bảo vệ quốc gia và các tổ chức/doanh nghiệp tăng cường bảo vệ an toàn không gian mạng, thì mối đe dọa thầm lặng và lén lút vẫn còn, đó là gián điệp tần số vô tuyến.
08:00 | 19/06/2020
CSKH02.2019 - (Abstract) - Computer keyboards are often used to enter data for a computer system, data could be normal information or confidential information such as password, key. Keyboards use electronic components so they will generate electromagnetic radiation that can reveal information. This article presents the acquisition of electromagnetic emanating from the PS/2 keyboards through different paths (in space, through power line or via LAN cable). After acquisition we develop a program on MATLAB to recover the keystroke signal from data which is obtained in the near field of PS/2 keyboard. The result of this side channel attack is recovered an average of more than 70% of the keystrokes in near field of PS/2 keyboards. Our best attack can recover up to more than 90% of the keystrokes. From this result, we conclude that PS/2 keyboards generate electromagnetic radiations which can cause the loss of information and they are not safe to use when entering confidential information.
15:00 | 20/05/2020
Trong khi đội ngũ hệ thống mạng là đội ngũ chịu trách nhiệm chính trong việc triển khai các thành phần của hệ thống mạng zero-trust cho tổ chức/doanh nghiệp (TC/DN), thì đội ngũ bảo mật cần tham gia vào việc phát triển nền tảng zero-trust tổng thể.
15:00 | 20/04/2020
Ngẫu nhiên hay các bộ tiêu chuẩn thống kê kiểm tra tính ngẫu nhiên của một dãy bit nhị phân (hoặc của một nguồn nhị phân) là điều thường được nhắc đến trong mật mã [1]. Trong kiểm định giả thiết thống kê, các nhà khoa học mật mã thường dùng đến một đại lượng được gọi là p-giá trị. Bài viết này sẽ giới thiệu đôi nét về lịch sử phát triển, cách sử dụng và ý nghĩa của p-giá trị.
Nếu smartphone xuất hiện một trong các dấu hiệu dưới đây, rất có thể thiết bị của bạn đã bị nhiễm mã độc và đang bị tin tặc theo dõi, lấy cắp thông tin từ xa.
21:00 | 15/02/2021
Mới đây, các chuyên gia bảo mật mạng tại Việt Nam (trong đó có HieuPC) đã cho ra mắt tiện ích mở rộng trên trình duyệt để giúp người dùng chống lại tấn công lừa đảo, sử dụng thuật toán học máy.
08:00 | 01/03/2021